가. 개요
벡터의 회전이란 벡터의 크기는 변하지 않고 방향이 변하는 것을 말한다
가. 벡터와 사원수의 곱
벡터를 사원수에 곱셈하여 회전된 벡터를 얻는 식은 다음과 같다.
p' = qpq^-1
p' 회전된 벡터
p 초기 벡터
q 회전축을 나타내는 사원수
q^-1 q의 역사원수
여기서 q는 단위사원수이므로 q^-1는 q*과 같다. q*이란 벡터부가 반대인 사원수다. 따라서 다음의 식이 성립한다.
p' = qpq^-1
p' = qpq*
||p'|| = ||qpq*||
||p'|| = ||q|| ||p|| ||q*||
||p'|| = ||p||
q와 q*은 크기가 1이고 벡터의 크기는 변하지 않는다.
뱡향을 살펴보면
p' = qpq*
p' = [Qs, Qv][0, Pv][Qs, -Qv]
이것을 사원수의 연산을 이용하여 풀면 아래와 같이 나온다.
[0, V]
즉, 크기는 변하지 않고 방향이 다른 벡터가 나온다. 그러므로 사원수의 곱셈은 3차원 공간에서의 벡터의 회전을 나타낸다고 볼 수 있다.